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Introducción¶

Imagina que gestionas una plataforma de e-commerce y quieres ordenar tu catálogo de productos en base a la calidad percibida por los usuarios. Para ello dispones de un sistema de reseñas donde los clientes pueden valorar cada producto como "positivo" o "negativo". Una primera aproximación para ordenar los productos es calcular el porcentaje de reseñas positivas ($k/N$) y ordenarlos de mayor a menor. Sin embargo, este método tiene un gran problema: no tiene en cuenta la confianza estadística que da el tamaño de la muestra (número de reseñas).

Para ilustrar este problema, imagina que tienes los siguientes tres productos con sus respectivas reseñas:

El porcentaje de reseñas positivas (porcentaje simple) sitúa a los auriculares con una sola reseña por delante de un portátil con 95 reseñas positivas de 100. Intuitivamente sabemos que el portátil es mejor producto, pero el porcentaje simple ignora por completo la confianza estadística que da el tamaño de la muestra.

Este es un problema clásico en estadística conocido como el problema de la estimación de proporciones con muestras pequeñas, y aparece en multitud de sistemas reales:

• Ordenar los post de un foro o red social por su número de "likes" o "upvotes".
• Ordenar los restaurantes de una ciudad por su número de reseñas positivas.
• Ordenar los jugadores de un deporte por su porcentaje de aciertos (canastas, saques, penaltis, etc.).

En este documento se estudian y comparan estos cuatro enfoques estadísticos:

• Promedio Bayesiano (Empirical Bayes): Asume que todo producto es "promedio" hasta que demuestre lo contrario con suficientes reseñas.

• Modelo Beta-Binomial: La base teórica del promedio bayesiano, que además permite calcular intervalos de credibilidad al 95%.

• Límite Inferior del Intervalo de Wilson: Clasifica por el peor rendimiento razonable de cada producto, no por su media.

• Umbral Mínimo + Porcentaje Simple: Excluye del ranking a los productos con menos de $N_{min}$ reseñas.

Librerías¶

Las librerías utilizadas en este documento son:

# Tratamiento de datos
# ==============================================================================
import numpy as np
import pandas as pd

# Estadística
# ==============================================================================
from scipy.stats import norm, beta

# Visualización
# ==============================================================================
import matplotlib.pyplot as plt

Fundamentos estadísticos¶

El problema de las proporciones simples¶

Cuando un cliente deja una reseña positiva o negativa, estamos ante un ensayo de Bernoulli: el resultado es binario (positiva = 1, negativa = 0) con una probabilidad desconocida $p$ de ser positiva. El número total de reseñas positivas $k$ de entre $N$ reseñas totales sigue una distribución Binomial:

La estimación más natural de $p$ es el estimador de máxima verosimilitud:

Este estimador es insesgado y consistente, pero presenta un problema crítico cuando $N$ es pequeño: su varianza es muy alta.

Con $N=1$, la varianza es máxima. El estimador toma solo los valores 0 o 1, sin ninguna capacidad discriminativa.

Promedio Bayesiano (Empirical Bayes)¶

La solución del Bayes Empírico parte de una idea intuitiva: todo producto nuevo es, en principio, tan bueno como el promedio del catálogo, hasta que sus reseñas demuestren lo contrario. La fórmula añade a cada producto unos pseudoconteos basados en la media global:

Donde los parámetros son:

¿Por qué funciona? La fórmula puede reescribirse como una media ponderada entre la media global y el porcentaje observado del producto:

Cuando $N \ll C$, el peso del prior domina y la estimación se acerca a $\mu$. Cuando $N \gg C$, el peso de los datos domina y la estimación converge a $k/N$. El parámetro $C$ controla exactamente cuántas reseñas necesita un producto para que el sistema "confíe" en sus propios datos por encima de la media del catálogo.

Sensibilidad de las estimaciones a C: La siguiente tabla muestra cómo varía la estimación del Promedio Bayesiano de dos productos al cambiar el valor de $C$. Observa cómo un $C$ mayor acerca a ambos productos a la media global $\mu$, independientemente de su porcentaje observado.

# Sensibilidad del Promedio Bayesiano al hiperparámetro C
# ==============================================================================
mu_global = 367 / 600  # media global ponderada del catálogo

productos_sensibilidad = {
    'Auriculares bluetooth': {'k': 1, 'N': 1},
    'Portátil gaming': {'k': 95, 'N': 100},
}

C_valores = [5, 10, 25, 50, 75, 150, 300]

filas = []
for C_val in C_valores:
    fila = {'C': C_val}
    for nombre, d in productos_sensibilidad.items():
        fila[nombre] = (d['k'] + C_val * mu_global) / (d['N'] + C_val)
    filas.append(fila)

sensibilidad_df = pd.DataFrame(filas).set_index('C')
sensibilidad_df.loc['mu (prior)'] = {nombre: mu_global for nombre in productos_sensibilidad}
sensibilidad_df.style.format('{:.3f}').set_caption(
    'Promedio Bayesiano según valor de C (última fila = media global μ usada como prior)'
)

Conexión con el modelo Beta-Binomial¶

La fórmula del Promedio Bayesiano no es arbitraria: es exactamente la media de la distribución posterior de un modelo bayesiano con prior Beta y verosimilitud Binomial.

Si asumimos un prior $p \sim \text{Beta}(\alpha_0, \beta_0)$ con:

Tras observar $k$ reseñas positivas de $N$ totales, la distribución posterior es:

La media de esta distribución posterior es exactamente:

Que es la fórmula del Promedio Bayesiano. La ventaja adicional de conocer la distribución posterior completa es que permite calcular intervalos de credibilidad al 95% de forma analítica con scipy.stats.beta.ppf, sin necesidad de simulación.

Límite inferior del Intervalo de Wilson¶

El intervalo de Wilson es un intervalo de confianza para proporciones que sigue siendo válido incluso con $N$ pequeño, a diferencia del intervalo de Wald (la aproximación normal clásica $\hat{p} \pm z\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/N}$), que puede producir valores fuera de $[0, 1]$ y cuya cobertura real se deteriora severamente con pocas observaciones. En lugar de ordenar por la estimación puntual $k/N$, este método ordena por el límite inferior del intervalo: el valor de $p$ más pesimista que es aún estadísticamente compatible con los datos observados al nivel de confianza dado.

El límite inferior del intervalo de Wilson al nivel de confianza $1-\alpha$ es:

Donde $\hat{p} = k/N$ y $z = z_{1-\alpha/2}$ es el percentil de la distribución normal estándar (por ejemplo, $z = 1.96$ para un nivel de confianza del 95%).

Ejemplo intuitivo:

• Auriculares bluetooth (1/1, 100%): mucha incertidumbre → su límite inferior es aproximadamente 20%.
• Portátil gaming (95/100, 95%): poca incertidumbre → su límite inferior es aproximadamente 88%.

Umbral mínimo + porcentaje simple¶

La aproximación más sencilla consiste en:

1. Definir un umbral $N_{min}$ (por ejemplo, 10 reseñas).
2. Excluir del ranking a todos los productos con $N < N_{min}$. Se muestran como "sin suficientes reseñas".
3. Para los productos que superan el umbral, ordenar por $\hat{p}_{simple} = k/N$.

Este enfoque es fácil de implementar y de comunicar a los usuarios. Su limitación principal es la frontera rígida: un producto con 9 reseñas se trata de forma idéntica a uno con 0 reseñas, mientras que uno con 10 reseñas mediocres entra en el ranking por delante de uno con 9 reseñas excelentes. La elección de $N_{min}$ también es arbitraria — los valores habituales en sistemas en producción van de 5 a 50 según la categoría — y suele requerir contexto de negocio para justificarse.

Los enfoques bayesiano y de Wilson evitan esta exclusión binaria aplicando una penalización suave: todos los productos aparecen en el ranking, pero los que tienen pocas reseñas quedan automáticamente relegados por la estimación conservadora.

Ejemplo¶

Datos¶

Se crea un catálogo con 8 productos para ilustrar el comportamiento de cada método.

# Datos
# ==============================================================================
datos = {
    'producto': [
        'Auriculares bluetooth',   # 1/1: nuevo perfecto,
        'Portátil gaming',         # 95/100: veterano excelente
        'Funda de móvil',          # 200/400: mediocre con mucho historial
        'Novela bestseller',       # 4/5: pocas pero muy buenas
        'Teclado mecánico',        # 2/5: pocas reseñas mixtas
        'Silla de oficina',        # 8/9: justo por debajo del umbral de 10 reseñas
        'Zapatillas running',      # 45/60: buenas con historial medio
        'Batería externa',         # 12/20: mediocre con historial suficiente
    ],
    'categoria': [
        'Electrónica', 'Electrónica', 'Accesorios', 'Libros',
        'Electrónica', 'Mobiliario', 'Moda', 'Electrónica',
    ],
    'resenas_positivas': [1, 95, 200, 4, 2, 8, 45, 12],
    'total_resenas':     [1, 100, 400, 5, 5, 9, 60, 20],
}

datos = pd.DataFrame(datos)
datos

Porcentaje simple¶

# Porcentaje simple
# ==============================================================================
datos['pct_simple'] = datos['resenas_positivas'] / datos['total_resenas']

ranking_simple = (
    datos[['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple']]
    .sort_values('pct_simple', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
ranking_simple

Con el porcentaje simple, los auriculares (1/1) ocupan el primer puesto con un 100%, por delante del portátil gaming (95/100). La silla de oficina (8/9, ~89%) también aparece en posiciones altas a pesar de tener muy pocas reseñas.

Promedio Bayesiano¶

El primer paso es calcular los parámetros globales del catálogo:

• $\mu$: el porcentaje de reseñas positivas promedio de todo el catálogo.

• $C$: la constante de confianza, que se elige como la media del número de reseñas por producto.

# Parámetros globales del catálogo
# ==============================================================================
mu = datos['resenas_positivas'].sum() / datos['total_resenas'].sum()
C = datos['total_resenas'].mean()
print(f'Promedio global (mu): {mu}')
print(f'Constante de confianza (C): {C}')

Promedio global (mu): 0.6116666666666667
Constante de confianza (C): 75.0

El siguiente paso es aplicar la fórmula del Promedio Bayesiano a cada producto.

# Promedio Bayesiano
# ==============================================================================
k = datos['resenas_positivas']
N = datos['total_resenas']

datos['pct_bayesiano'] = (k + C * mu) / (N + C)

ranking_bayesiano = (
    datos[['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple', 'pct_bayesiano']]
    .sort_values('pct_bayesiano', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
ranking_bayesiano

El Promedio Bayesiano corrige el ranking como era de esperar. El portátil gaming sube al primer puesto: con 100 reseñas ($N > C$), su porcentaje observado (95%) tiene suficiente peso para superar la atracción del prior. Los auriculares caen notablemente: con solo 1 reseña ($N \ll C$), su estimación está casi completamente determinada por el prior $\mu$, no por el único acierto observado — este es el efecto de shrinkage de la estimación bayesiana. La funda de móvil ilustra el caso asintótico opuesto: con 400 reseñas ($N \gg C$), el prior contribuye de forma negligible y la estimación es prácticamente idéntica a su proporción real (~50%), que está muy por debajo de la media del catálogo.

Modelo Beta-Binomial: intervalo de credibilidad al 95%¶

El modelo Beta-Binomial nos permite calcular intervalos de credibilidad al 95% para cada producto. Ordenamos el ranking por la media del posterior (que coincide con el Promedio Bayesiano), pero mostramos también el intervalo completo.

# Parámetros del prior Beta
# ==============================================================================
alpha_0 = C * mu
beta_0 = C * (1 - mu)

# Parámetros de la distribución posterior por producto
# ==============================================================================
alpha_post = alpha_0 + k
beta_post = beta_0 + (N - k)

# Intervalo de credibilidad al 95%
# ==============================================================================
datos['cred_95_inf'] = beta.ppf(0.025, alpha_post, beta_post)
datos['cred_95_sup'] = beta.ppf(0.975, alpha_post, beta_post)

cols_beta = ['producto', 'total_resenas', 'pct_simple', 'pct_bayesiano', 'cred_95_inf', 'cred_95_sup']
(
    datos[cols_beta]
    .sort_values('pct_bayesiano', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)

El intervalo de credibilidad revela la incertidumbre real que hay detrás de cada estimación puntual:

• Auriculares bluetooth (1 reseña): el intervalo va de ~51% a ~72%. Es el más amplio del catálogo. Con $C \approx 75$ pseudoreseñas virtuales y solo 1 observación real, el prior tiene aproximadamente 75× más peso que los datos — el posterior está casi completamente determinado por el prior, lo que explica por qué el intervalo, aunque amplio, se centra bastante por encima del 50%.
• Portátil gaming (100 reseñas): el intervalo es estrecho (~74% a ~86%). Con $N > C$, las 100 reseñas reales superan en peso al prior y el sistema confía en sus datos observados.
• Funda de móvil (400 reseñas): el intervalo es el más estrecho de todos (~47% a ~56%). Con $N \gg C$, el posterior está dominado casi íntegramente por las 400 reseñas observadas y el sistema sabe con alta precisión que es un producto mediocre.

Este es el insight clave del shrinkage bayesiano: el ancho del intervalo de credibilidad no depende solo de $N$, sino del cociente $N/C$. Un producto necesita $N \gg C$ reseñas para que su incertidumbre sea comparable a la de un producto con muchas reseñas en un contexto no bayesiano.

Límite inferior del Intervalo de Wilson¶

El límite inferior del intervalo de Wilson ordena por el peor rendimiento razonable de cada producto.

# Límite inferior del Intervalo de Wilson
# ==============================================================================
confianza = 0.95  # nivel de confianza
z = norm.ppf(1 - (1 - confianza) / 2)  # z = 1.96 para 95%

p_hat = datos['pct_simple']

datos['wilson_lower'] = (
    (p_hat + z**2 / (2 * N) - z * np.sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / N + z**2 / (4 * N**2)))
    / (1 + z**2 / N)
)

ranking_wilson = (
    datos[['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple', 'wilson_lower']]
    .sort_values('wilson_lower', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
ranking_wilson

El Intervalo de Wilson es el método más conservador. Penaliza fuertemente la incertidumbre: los auriculares (1/1) caen casi al final del ranking porque su límite inferior es muy bajo (~21%). La silla de oficina (8/9) también baja notablemente a pesar de su alto porcentaje simple.

Umbral mínimo¶

El método del umbral mínimo excluye a los productos con menos de 10 reseñas.

# Umbral mínimo de reseñas
# ==============================================================================
N_min = 10
print(f'Productos con N >= {N_min} reseñas (incluidos en el ranking):')
ranking_umbral = (
    datos.loc[datos['total_resenas'] >= N_min, ['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple']]
    .sort_values('pct_simple', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
display(ranking_umbral)

print(f'\nProductos excluidos del ranking (N < {N_min}):')
excluidos = datos.loc[datos['total_resenas'] < N_min, ['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas']]
excluidos

Productos con N >= 10 reseñas (incluidos en el ranking):

Productos excluidos del ranking (N < 10):

Con $N_{min} = 10$, quedan excluidos del ranking los auriculares, la novela bestseller, el teclado mecánico y la silla de oficina. Esta última, que tiene un 89% de reseñas positivas con 9 reseñas, no aparece en el ranking a pesar de ser el segundo producto con mejor porcentaje simple.

Comparación de rankings¶

El siguiente gráfico muestra la posición (ranking) de cada producto según cada uno de los cuatro métodos. Los productos con la misma posición en todos los métodos son estables; los que cambian significativamente de posición son los más afectados por la incertidumbre en sus reseñas.

# Comparación de rankings entre los cuatro métodos
# ==============================================================================

rank_df = datos[['producto']].copy()

rank_df['Simple %'] = (
    datos['pct_simple']
    .rank(ascending=False, method='min')
    .astype(int)
)

rank_df['Bayesian Avg'] = (
    datos['pct_bayesiano']
    .rank(ascending=False, method='min')
    .astype(int)
)

rank_df['Wilson LB'] = (
    datos['wilson_lower']
    .rank(ascending=False, method='min')
    .astype(int)
)

included_mask = datos['total_resenas'] >= N_min

rank_df['Min Threshold'] = (
    datos['pct_simple']
    .where(included_mask)
    .rank(ascending=False, method='min')
)

rank_df = rank_df.set_index('producto')

display(rank_df)

# Bump chart
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))

for product, ranks in rank_df.iterrows():
    ax.plot(
        rank_df.columns,
        ranks,
        marker='o',
        linewidth=2,
        label=product
    )

ax.invert_yaxis()

ax.set_ylabel('Rango')
ax.set_title('Comparación de rankings entre métodos')

ax.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.3)

ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.spines['right'].set_visible(False)

ax.legend(
    title='Producto',
    bbox_to_anchor=(1.02, 1),
    loc='upper left'
);

Conclusiones¶

Los métodos estudiados resuelven de formas distintas el mismo problema fundamental: la inestabilidad del porcentaje simple con muestras pequeñas.

Recomendación según caso de uso:

• Usa el Promedio Bayesiano si quieres un ranking unificado y justo donde todos los productos (nuevos y veteranos) aparezcan desde el primer día sin penalizar demasiado a nadie. Es el estándar en plataformas de e-commerce.
• Añade el intervalo de credibilidad Beta-Binomial si necesitas comunicar al usuario la incertidumbre de cada estimación (por ejemplo, mostrar una barra de confianza junto a las estrellas).
• Usa el Intervalo de Wilson si el contexto es muy competitivo y quieres ser estricto, como en rankings de comentarios o reseñas de apps, donde los primeros resultados tienen un impacto enorme.
• Usa el umbral mínimo solo si la simplicidad de implementación es un requisito y la exclusión temporal de productos nuevos es aceptable para tu negocio.

Información de sesión¶

import session_info
session_info.show(html=False)

-----
matplotlib          3.10.8
numpy               1.26.4
pandas              2.2.3
scipy               1.11.4
session_info        v1.0.1
-----
IPython             9.10.1
jupyter_client      8.8.0
jupyter_core        5.9.1
-----
Python 3.11.15 (main, Mar 11 2026, 17:20:07) [GCC 14.3.0]
Linux-6.17.0-29-generic-x86_64-with-glibc2.39
-----
Session information updated at 2026-06-01 14:09

Instrucciones para citar¶

¿Cómo citar este documento?

Si utilizas este documento o alguna parte de él, te agradecemos que lo cites. ¡Muchas gracias!

Ranking estadístico de productos: Bayes Empírico, Intervalo de Wilson y Umbral Mínimo por Joaquín Amat Rodrigo, disponible bajo una licencia Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0 DEED) en https://www.cienciadedatos.net/documentos/pystats13-ranking-estadistico-python.html

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